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Xcas: un logiciel libre de calcul formel
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 Sujet du message: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Sep 10, 2015 9:14 am 
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Cours du 9 et 10/09:
Presentation du module.
Courbes parametrees:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinematique
2/ definition de courbe parametree sur un intervalle ou une reunion d'intervalles, differents parametrages peuvent donner la meme courbe. Exemples graphe fonction, (t,f(t)) et (t-1,f(t-1)), cercle (cos(t),sin(t)), (cos(2t),sin(2t)) et parametrage rationnel par intersection avec y=t*(x+1), illustration avec Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2371.xws, le changement de parametre effectue un parcours de la courbe a une vitesse variable par rapport au parametrage trigonometrique.
3/ representation graphique par logiciel: discretisation tmin, tmax, tstep. Influence du choix de tstep sur le cout de calcul et la precision. On peut manquer des particularites de la courbe si le pas est trop grand.
Exemple plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
Interet de faire une etude analytique pour comprendre les particularites de la courbe, le trace par logiciel sert a verifier.
4/ Etude analytique
4.0 Rappel sur les graphes de fonction: domaine, parite/periodicite, recherche d'asympotes verticales/horizontales/obliques, tableau de varitions, tangentes horizontales, convexite
4.1 domaine de definition
4.2 Restriction eventuelle par symetrie/periodicite: illustration http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2373.xws
4.3 Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini. Recherche d'asymptote oblique si les 2 tendent vers l'infini, lim(y/x)=a si a<>0, lim y-a*x. Branche parabolique si a=0 ou a=infini (je n'ai pas parle de parabole asymptote) ou lim(y-a*x)=infini.
4.4 Etude locale en t0, regularite au moins C2
La tangente est portee par la vitesse si elle est non nulle/point regulier.
Def point singulier, si l'acceleration est non nulle la tangente est portee par l'acceleration pour un point singulier et on a un rebroussement.
4.5 Double tableau de variations de x et y en fonction de t, puis trace
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1).
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2372.xws
4.6 Convexite: m=y'/x' pente de la tangente en un point regulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-etre une inflexion. Signe de m'= signe de x'y"-x"y'

Je n'ai pas parle du cas general pour l'etude locale, j'en parlerai la prochaine fois en remarque non exigible.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Sep 17, 2015 5:45 pm 
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cours du 17/09
1/ Courbes en parametriques (fin)
Nature d'un point singulier, 1er ordre q>p tel que derivees non colineaires, et discussion selon la parite de p et q.
En cinematique: si vitesse=0 et acceleration=0, et forces exterieures independantes du temps, alors on a un point d'equilibre, on y reste indefiniment. Il faut voir la nature d'un point singulier comme un raffinement, et assimiler en priorite point regulier, et point singulier avec derivee seconde non nulle (->rebroussement, savoir si c'est de 1ere ou 2eme espece est moins important).

2/ Courbes en polaires: plan d'étude identique à paramétrique, mais plus simple. Branches infinies: si theta->+/-inf est dans le domaine après restriction, spirale vers l'infini ou vers 0 ou vers un cercle asymptote si la limite de r(theta) existe. Si theta->theta0, recherche de lim r(theta)*sin(theta-theta0) si existe asymptote oblique Y=l dans le repère tourné.
Exemple: r=1/(1+2*cos(theta)), asymptote en theta=2*pi/3.
Etude locale: vitesse=(r',r) dans le repère (e_r,e_theta). Conséquence: si r<>0 point régulier (si r'=0 tangente perpendiculaire au rayon vecteur). Si r=0, la tangente est toujours portée par la droite d'angle theta_0, même si r'=0. Si r=0 et r'=0 point singulier, si r change de signe, allure normale, si r de signe constant, rebroussement de première espèce.
Pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Sep 24, 2015 3:25 pm 
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Calculatrices: trace de courbe parametrique, et prise en main calcul formel pour l'etude analytique (HP Prime et TI 89/92).

Coniques
a/ Ellipse MF+MF'=2a, FF'=2c, e=c/a<1
- équation cartésienne réduite
- grand cercle, ellipse obtenue par ecrasement selon Oy de sqrt(1-y^2)
- équation paramétrique trigonométrique de l'ellipse a*cos(t),b*sin(t)
- équation en polaire a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))
- propriété distance(M,foyer)=e*distance(M,directrice)
- application en mécanique céleste: lois de Kepler
b/ Parabole définie par distance(M,foyer)=distance(M,directrice), e=1
- équation cartésienne réduite (avec directrice verticale x=0, et foyer d'abscisse c) x=(y^2+c^2)/2/c
- équation en polaire réduite
- illustration des rayons réfléchis qui passent par le foyer
c/ Hyperbole définie par |FM-F'M|=2a<2c=FF'
- équation cartésienne
- paramétrisation trigo hyperbolique
- équation polaire


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Oct 01, 2015 3:27 pm 
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1/10:

Coniques fin:
Les equations reduites se ramenent a une equation du 2nd degre dans un repere orthonorme quelconque (translation+rotation).
Reciproquement, la recherche du repere reduit est lie a l'etude des formes quadratiques (semestre 4). Mais on peut faire le calcul naivement: on cherche une rotation d'angle theta qui annule le terme en x*y de a*x^2+b*x*y+c*y^2, on trouve tan(2*theta)=b/(a-c)
Paramétrisation rationnelle d'une conique définie par une équation du second degré passant par (0,0). Discussion selon le discriminant (en supposant que la fraction donnant x en fonction de t ne se simplifie pas).
Exemple traité 2x^2+x*y+y^2=4, angle pi/8 et discriminant -7 ellipse, vérification avec Xcas

Propriétés métriques des courbes:
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantannée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
Longueur d'arc paramétrique: propriété intrinsèque (géométrique), la valeur est indépendante du paramétrage, de même que la tangente à une courbe par rapport à la vitesse qui est une grandeur cinématique. Quel est l'analogue intrinsèque de l'accélération?
Le paramétrage par s, la longueur d'arc est intrinsèque, il est naturel de calculer la vitesse et l'accélération par rapport à ce paramétrage. On trouve un vecteur normé T de direction la tangente, et sa dérivée par rapport à s est perpendiculaire à T, dT/ds=kappa*N, avec (M,T,N) repère orthonormé direct, j'ai oublie de dire que c'est le repère de Frenet, kappa=courbure signée, R=|1/kappa| rayon de courbure.
Cas d'un arc de cercle de rayon r, on a alors r=1/kappa, justifiation du nom rayon de courbure.
kappa=d/ds(angle entre T et une direction fixée).
Retour à un paramétrage quelconque, formule pour accélération tangentielle dv/dt et normale v^2/R et formule pour le rayon de courbure en fonction de x',y',x",y".
Cercle osculateur: centré en M+1/kappa*N passant par M de rayon R.
Illustration Xcas d'un cercle osculateur sur une parabole en un point qui n'est pas sommet, la courbe traverse le cercle.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Oct 08, 2015 5:19 pm 
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8/10: rappels repere de Frenet (j'avais oublie de donner le nom la derniere fois), courbure, cercle osculateur.
courbure=d/ds(angle fait par le vecteur tangeant avec l'axe Ox)
Exemple: calcul complet pour la parabole (t,t^2).
On remarque que les racines carrées disparaissent pour M+1/kappa*N (fait général).

Les centres des cercles décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
Illustration d'une caustique (menu Aide/Exemple/geometrie/caustique de Xcas)

Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => spirale de Fresnel/clothoïde.

2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat234)
Définition abstraite de forme différentielle: application linéaire de R^2 dans R en chaque point. Exemple de la dérivée directionnelle d'une fonction, dV(v)=derivee directionnelle de V selon v. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(v)=1ère [resp. dy(v)=2ème] composante de v.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V dy
Definition du gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Exemple: calcul de gradient distance(A,M), A point fixé, pour M différent de A
dV s'annule sur un vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Oct 15, 2015 3:15 pm 
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15/10:
Correction de la tangente/normale a l'ellipse=bissectrices des rayons issus des foyers. J'ai oublie de dire qu'en consequence un rayon lumineux issu d'un foyer se reflechissant sur un miroir elliptique passe par l'autre foyer.

Différentielle plus générale: omega=M(x,y)dx+N(x,y)dy, M et N deux fonctions de R^2 dans R.

Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = integrale de a à b de omega appliqué à la vitesse en gamma(t)* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.

calcul sur un arc donné géométriquement, en choisissant un paramétrage, par exemple graphe y=f(x), on prend (t,f(t)), ou en polaires r(theta), on prend (r(theta)*cos(theta),r(theta)*sin(theta))
Retour à la question: peut-on calculer l'intégrale par différence entre une fonction aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV (idée de preuve : construction de V en anticipant sur Stokes)
Condition nécessaire: partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega.
Exemple 1: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; et calcul du potentiel V
Exemple 2: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0), calcul de l'intégrale sur le cercle unité.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Oct 22, 2015 4:58 pm 
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Exemple de calcul de potentiel V pour
omega=cos(x)*cos(y)*dx+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*dy
Application: calcul d'integrale curviligne de omega sur un arc AB=V(B)-V(A), ne depend pas du chemin.

Définition de courbe intégrale pour omega: omega(d gamma/dt)=0 le long de gamma
Intérêt: si gamma se paramètre comme graphe de fonction y(x), alors M+N*y'=0 on a un graphe de solution de l'équation différentielle.
Si omega est exacte, omega=dV, alors une courbe intégrale est courbe de niveau de V, ce qui permet de résoudre l'équation différentielle.
Facteur intégrant: si oméga n'est pas fermée, on peut chercher une fonction f telle que (fM*dx+fN*dy) soit fermée, en général on cherche f dépendant de x ou de y seulement. Cela permet de résoudre plus d'équations différentielles de cette manière.
Exemple: cos(x)*cos(y)+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*y' les solutions sont courbes de niveau du potentiel calcule

Remarque: en thermodynamique, la chaleur deltaQ est une forme différentielle non fermée (la chaleur échangée dépend du chemin choisi), mais (dans le cas réversible) 1/T est un facteur intégrant, 1/T*deltaQ=dS (S=l'entropie), dS est une forme exacte.

Théorème de Stokes/Green-Riemann. Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Applications: calcul d'intégrales doubles, exemple aire de l'ellipse, centre d'inertie d'un quart de disque.

Utilisation des calculatrices: rappel trace de courbe parametrique, puis calcul approche d'une longueur d'arc (la courbe du DM entre t=2 et t=3).


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Nov 12, 2015 7:07 pm 
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Equations différentielles et systemes differentiels: generalites.

Présentation sous forme résolue y'=f(y,t), f:R^nxR->R^n, y dans R^n. Si f(y,t)=f(y) ne dépend pas du temps, équation autonome. Si f(y,t)=f(y)+g(t) autonome avec forçage extérieur (= second membre).
Equation plus generale: il faut commencer par calculer y', par exemple y'^2+y^2=1.
Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener a un systeme d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple y''+w^2*y=0, ou l'équation fondementale de la dynamique x''=somme des forces(x,x',t)/m en posant y=(x,x')

Problématique: résolution explicite? Certaines formes d'equations le sont, mais ce n'est pas generique.
Ils sont quand meme importants car permettent de trouver l'allure dans des cas non résolubles.

Problématique: existence/unicité d'une solution passant par une condition initiale donnée. On verra que c'est le cas, ce résultat permettra par exemple de montrer que 2 courbes solutions ne se coupent pas, par ex. y'=y*(1-y) a 2 solutions évidentes y=0 et y=1, donc toute solution avec y(t=0) dans [0,1] y reste.

Problématique: comportement asymptotique des solutions lorsque t->infini.
Je me suis emmele les pinceaux: en parlant de regime permanent/regime transitoire, au lieu de donner comme exemple y'+a*y=cos(alpha*t), j'ai ajoute un second membre a l'equation y''+w^2*y (et indique qu'il y avait resonance pour w=alpha), j'y reviendrai les prochaines fois.

Représentation graphique: si on connait une solution, la tangente a son graphe a pour pente f(y,t). On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des segments de pente f(y,t). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon : c'est la base de la resolution numerique des equations differentielles (noms des methodes d'Euler, de Runge-Kutta donnes pour culture generale).
Exemple videoprojete: y'=sin(t+y) avec le mode plotode de Xcas (niveau de geometrie puis Mode, courbe) qui permet de tracer le champ des tangentes et de cliquer une condition initiale, j'ai profite de l'ordi allume pour presenter un cas autonome en dimension 2 mais je n'ai pas encore explique en details pourquoi on peut ne pas représenter le temps.
Mode d'emploi pour faire champ des tangentes+solution numérique sur calculatrices.

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur un domaine D ouvert de R^nxR il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par toute condition initiale de D.
Idée: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.

Conséquence: équation déterministe. Mais impossibilité de déterminer exactement la condition initiale -> imprédicitibilité : exemple y'=y, si erreur de epsilon sur y(0) alors erreur (absolue) multipliee par exp(t) au temps t.

Conséquence: controle d'une solution par des solutions connues (pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante -> allure du graphe d'une solution, et de toutes celles obtenues par translation en temps.
Si des solutions se croisent cela ne peut etre qu'en un point ou f(y,t) n'est pas reguliere, par exemple y'=y/t toutes les solutions se croisent en t=0 ou f(y,t) n'est pas definie.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Nov 19, 2015 5:55 pm 
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Méthodes explicites de résolution d'équations différentielles:
1/ Dimension n=1, ordre 1, à variables séparables y'=g(y)*h(t). Solutions constantes y=r racine de g. Les autres solutions n'annulent jamais g par Cauchy-Lipschitz -> dy/g(y)=dt*h(t) donc G(y)=H(t)+C
Exemple 1: y'=t*y
Exemple 2: y'=y*(1-y), on retrouve le comportement asymptotique précédent. Cas où y(t0)<0 ou >1, asymptote verticale, intervalle de définition maximal.
2/ Linéaire n=1, ordre 1, solution générale homogene et variation de la constante pour solution particuliere
3/ Linéaire n=1, ordre h -> espace vectoriel de solutions,de dimension h en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution. On peut reduire de 1 l'ordre si on connait une solution (detaille pour l'ordre 2).
4/ Linéaire à coefficient constant, équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a h racines simples r_1, .., r_j, ..., l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Démonstration partielle (independance lineaire pas faite)
Prop: Si r racine multiple, remplacer e^{r*t} m fois par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Je m'interroge sur l'opportunite de demontrer ces 2 propositions...


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Nov 26, 2015 5:08 pm 
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Demonstration de l'independance lineaire des e^{r_j*t}

Cas des couples de racines complexes conjuguées si l'equation est a coefficients reels, retour au réel (j'ai fait remarquer que ca ne s'appliquait pas si les coefficients sont complexes).
Ecriture sous forme amplitude*cos(omega*t-phi)
Exemples y''+3y'-4y=0, y''+2y'+y=0, y''+2y'+2y=0

Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière.
y=sum_j lambda_j*y_j où les y_j forment une base de solutions de l'équation homogène.
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant sum_j lambda_j'*y_j=0 (ordre 2), sum_j lambda_j'*y_j^[k dérivée]=0 pour k<ordre-1, et l'équation différentielle sum_j lambda_j'*y_j^[ordre-1 dérivées]=second membre/a_ordre.

Cas particulier: si second membre B(t)*exp(r*t), solution particulière de la même forme Q(t)*exp(r*t) avec Q de même degré que B + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique.
Exemples y''+3y'-4y=exp(2t) puis =t puis =exp(t)
y'+a*y=cos(omega*t) pour a>0, en posant cos(omega*t)=Re(exp(i*omega*t)). Toutes les solutions tendent vers le meme regime permanent lorsque t->+infini.
Amplitude et dephasage du regime permanent par rapport au second membre. J'ai dit oralement que ca permettait d'expliquer que le dephasage du rechauffement des terres, de l'ocean ou de la banquise augmentait entre un peu au-dessus de 0, environ pi/4 et presque pi/2 en fonction de l'inertie thermique (modelisee par a, plus precisement plus a est petit plus l'inertie est grande et tan(dephasage)=omega/a).


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Déc 03, 2015 5:19 pm 
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3/10:
Systemes differentiels lineaires a coefficients constants se ramenant a une equation differentielle lineaire a coeff constants:
a/ Systemes 2x2 d'ordre 1: x'=a*x+b*y+f(t) (1) et y'=c*x+d*y+g(t) (2)
si b=0 on resoud (1) et on remplace dans (2)
sinon y=1/b*(x'-a*x-f(t)) et on remplace dans (1) -> equation du 2nd ordre

b/ cas du champ magnetique constant selon Oz
m*x''=q*B*y'
m*y''=-q*B*x
on pose c=x+i*y et on obtient m*c''=q*B*i*c', equation caracteristique de racines 0 et -i*q*B/m-> c=alpha+beta*exp(-i*q*B/m*t)
on pose beta=rho*exp(i*theta) et on obtient x=Re(c) et y=Im(c)
Remarque: equation a coefficients complexes donc pas de couples de racines conjuguees
Laisse a titre d'exercice: si on ajoute un champ electrique constant, i.e. un second membre constant. Si la vitesse initiale est nulle la trajectoire est une cycloide.

Integrales premieres:
* systeme conservatif en dimension 1 permet de remplacer m*x''=somme des forces en
1/2*m*x'^2+V=E, si V ne depend pas du temps, equation a variables separables
* en dimension1 ordre 1, forme fermée/exacte ? si oui, les courbes de niveau du potentiel V sont les courbes intégrales. Si non, on peut chercher un facteur pour rendre la forme fermée. Exemple: y'=-(3x^2+y^2)/(2*(x-1)*y)
* force centrale: conservation du moment cinetique -> mouvement plan
Si de plus d^2r/dt^2=-mu/r^2*e_r, 1ère constante L=r vectoriel dr/dt => mouvement plan et loi des aires r^2*d(theta)/dt=L, 2ème constante E=1/mu*dr/dt vectoriel L - e_r => mouvement sur une conique.

Comportement asymptotique des solutions:
1/ Equation lineaire a coeff constants en dimension 1
1.a/ Cas homogene
Si toutes les racines de l'equation caracteristique sont de partie reelle < 0 alors convergence vers 0
Si <=0 et si toutes les racines de partie reelle nulle sont simples, alors solution bornee.
Sinon, il existe des solutions non bornees.

Exemple: ordre 1 y'+a*y=0 a>0, a=0 et a<0
ordre 2 a*y''+b*y'+c*y, discussion selon le signe du discriminant, puis selon le signe des racines pour delta>=0 (pour avoir 2 racines strictement negatives il faut que b/a>0 et c/a>0) ou selon le signe de b/a (paire de racines conjuguées). Allure du graphe: amortissement exponentiel ou exponentiel avec oscillation.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Déc 10, 2015 5:49 pm 
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cours 10/12:
comportement asymptotique (t->+infinity) des edo lineaires a coeff cst avec 2nd membre:
comportement solution particuliere + comportement solution generale.
Les cas interessants en physique:
a/ solution generale -> 0 (re(racines)<0) ou
b/ periodique (re(racines)=0, im(racines)=frequences intrinseques)
et second membre periodique.
a/ toutes les solutions se rapprochent d'une solution particuliere: exemple loi d'Ohm complexe
q/C+Rdq/dt+Ld^2q/dt^2 = alpha*cos(w*t)
les racines de l'equation caracteristique ont pour somme -R/L<0 et produit 1/LC donc sont de partie reelle negatives ou negatives, la solution generale tend vers 0
b/ si la frequence de l'excitation est distincte des frequences intrinseques, on obtient des solutions periodiques, sinon on a resonance.

Comportement asymptotique des equations autonomes du 1er ordre en dimension 1 y'=f(y). Solution y=r stationnaire si f(r)=0. Monotonie entre 2 racines consécutives de f, comportement en +infini. Definition de stabilité et resultat selon le signe de f'(r) si non nul.

Systemes:
ordre 1:
Résolution sous forme matricielle dans le cas diagonalisable uniquement A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z, résolution, puis Y=P*Z.

ordre>1: on se ramene a l'ordre 1 en dimension plus grande.
Exemple ordre 2 pour un systeme en dimension 2 de 3 ressorts couples, se ramenant a l'ordre 1 en dimension 4 (x1, x2, dx1/dt,dx2/dt).
Entree de la matrice et calcul du polynome caracteristique a la calculatrice (je l'ai donne en dimension 4,
ti: [[0,0,1,0][0,0,0,1][-2w^2,w^2,0,0][w^2,-2w^2,0,0]] sto> a
hp,Xcas: [[0,0,1,0],[0,0,0,1],[-2w^2,w^2,0,0],[w^2,-2w^2,0,0]] sto> a
puis factor(det(a-x*identity(4)), rref(a-x*identity(4)) pour x valeur propre permet de determiner les espaces propres, eigenvals/eigenvects sur HP et eigVl/eigVc sur TI donne directement les valeurs et espaces propres mais sur TI le calcul est uniquement approche numerique.
J'ai donne une reponse pour le systeme 4x4 et dit aux etudiants de tester sur leur calculatrice. On trouvait 4 valeurs propres, +/-i*w, +/-i*sqrt(3)*w, donc 2 frequences intrinseques w et sqrt(3)*w. J'ai dit que si on excite le systeme de ressorts par une oscillation periodique, la solution aura 3 periodes caracteristiques sauf si l'excitation est w ou sqrt(3)*w (resonance).

Introduction au calcul variationnel:
Lagrangien L(x,x',t) (attention j'ai noté x point en cours, pas x' mais sur ce forum je ne sais pas faire un x point...), action S, exemples: longueur d'arc, lagrangien 1/2*m*x'^2-V(x) de la mécanique classique (force conservatrice).
Equations d'Euler-Lagrange (théorème énoncé, je ferais une preuve heuristique la prochaine fois) pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixés vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple:
lagrangien de la mécanique classique=energie cinetique-potentiel, les equations d'Euler-Lagrange redonnent m*accélération=forces
Exercice:
longueur d'arc parametree -> lagrangien=norme de la vitesse, quelles sont les equations d'Euler-Lagrange correspondantes?

Interet: changement de coordonnees en polaire donne facilement les equations du mouvement. Si le potentiel est radial, on obtient que le moment cinetique est conserve. Permet de "creer" plus facilement des equations covariantes.
J'ai fini en donnant le lagrangien en relativite restreinte (on remplace l'energie cinetique par le temps propre -mc^2*sqrt(1-vitesse^2/c^2), sans ecrire les equations d'Euler-Lagrange correspondante.


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 Sujet du message: Re: mat237, 2015/16
MessagePublié: Jeu Déc 17, 2015 4:10 pm 
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Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
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17/12:
Calcul variationnel: interet
Recherche d'intégrales premières: geodesique -> vecteur tangent constant
En mecanique classique, si L ne dépend pas de x, conservation de la quantité de mouvement m*dx/dt.
Définition du hamiltonien H=sum_i x_i_point*drond L/drond x_i_point -L
Prop: si L ne dépend pas explicitement du temps, alors H est conservé.
Exemple: en mécanique classique, H=énergie totale

Comportement asymptotique des systèmes différentiels d'ordre 1:
1/ cas linéaires à coefficients constants diagonalisable: solution Y=P*(alpha_j exp(lambda_j t)), on classe les valeurs propres par partie réelle croissante, le comportement en t->+infini est dicté par la valeur propre de partie réelle maximale ou par une paire de valeurs propres conjuguées de partie réelle maximale.
Si toutes les valeurs propres ont une partie réelle < 0 alors on tend vers 0.
En dimension 2, allure des courbes dans les différents cas génériques :
* 2 réels <0, 2 réels >0: direction asymptotique ou tangente selon le vecteur propre associe a la valeur propre de partie reelle maximale (et inversement pour t->-infini)
* 1 réel<0 et 1 réel>0: asymptote selon le vecteur propre >0 (et inversement pour t->-infini), si les valeurs propres sont opposees on est sur une hyperbole
* 2 valeurs propres conjuguées de partie réelle<0: spirale vers 0
* 2 valeurs propres conjuguee de partie reelle >0: spirale vers l'infini.
* 2 valeurs propres imaginaires pures: on est sur une ellipse (produit des coordonnees constant dans le repere complexe diagonalise donc conique + borne)

2/ cas autonome: Y'=f(Y), on recherche des solutions stationnaires, définition d'équilibre stable (pour toute condition initiale proche d'une solution stationnaire, on retourne à l'équilibre si t->+infini), on a vu en dimension 1 que l'équilibre est stable si f'<0, on peut montrer que c'est encore le cas si la matrice f'(Ye) du système linéarisé Y'=f'(Ye)*(Y-Ye) a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative.


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