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Xcas: un logiciel libre de calcul formel
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 Sujet du message: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Sep 08, 2016 1:44 pm 
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Cours des lundi 5/9 et jeudi 8/9:
Presentation du module.
Courbes parametrees:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinematique
2/ definition de courbe parametree sur un intervalle ou une reunion d'intervalles, j'ai oublie de parler de differents parametrages donnent la meme courbe et decide d'en parler la semaine prochaine en distinguant les proprietes geometriques et cinematiques d'une courbe.
3/ representation graphique par logiciel: discretisation tmin, tmax, tstep. Influence du choix de tstep sur le cout de calcul et la precision. On peut manquer des particularites de la courbe si le pas est trop grand.
Exemple plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
Interet de faire une etude analytique pour comprendre les particularites de la courbe, le trace par logiciel sert a verifier.
4/ Etude analytique
4.0 Rappel sur les graphes de fonction: domaine, parite/periodicite, recherche d'asympotes verticales/horizontales/obliques, tableau de varitions, tangentes horizontales, convexite
Exercice: montrer que si y''>=0 la courbe est au-dessus de la tangente.
4.1 domaine de definition
4.2 Restriction eventuelle par symetrie/periodicite: illustration http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/m2371.xws
4.3 Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini.
=== fin du cours de lundi/debut du cours du jeudi ===
Recherche d'asymptote oblique si les 2 tendent vers l'infini, lim(y/x)=a si a<>0, lim y-a*x. Branche parabolique si a=0 ou a=infini (je n'ai pas parle de parabole asymptote). J'ai oublie de dire que si lim(y-a*x)=infini on parle de branche parabolique de direction y=a*x.
4.4 Etude locale en t0, regularite au moins C2
La tangente est portee par la vitesse si elle est non nulle/point regulier.
Def point singulier, si l'acceleration est non nulle la tangente est portee par l'acceleration pour un point singulier et on a un rebroussement.
Cas general: la tangente est portee par la 1ere derivee non nulle si elle existe, si l'ordre de la derivee est paire on a un rebroussement.
4.5 Double tableau de variations de x et y en fonction de t, puis trace
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1).
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~par ... /m2372.xws
4.6 Convexite: m=y'/x' pente de la tangente en un point regulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-etre une inflexion. Signe de m'= signe de x'y"-x"y'=det(vitesse,acceleration). Si >0 alors la vitesse tourne dans le sens trigometrique (le repere {v,a} est direct), si <0 alors la vitesse tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.
Definition d'inflexion analytique et geometrique.
Le critere etend bien le cas d'un graphe de fonction x=t, x'=1, x''=0
Solution de l'exercice


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Sep 15, 2016 6:01 pm 
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Cours du 15/9:
Recapitulatif etude de courbe en parametriques, exemple du cours precedent avec calculs assistes par Xcas.
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/m2372.xws
Une meme courbe peut avoir differentes parametrisations, proprietes geometriques (independantes de la parametrisation, peuvent eventuellement dependre de l'orientation) et cinematiques: equation cartesienne/parametriques, tangente/vitesse, convexite/repere vitesse, acceleration.
Calcul demontrant que la convexite ne depend que de l'orientation.

Courbes en polaires: definition. Attention, r(theta) peut etre negatif, c'est une mesure algebrique.
Plan d'étude identique à paramétrique, mais plus simple.
Domaine, symetries/periodicites (au sens large).
Branches infinies: si theta->+/-inf est dans le domaine après restriction, spirale vers l'infini ou vers 0 ou vers un cercle asymptote si la limite de r(theta) existe. Si theta->theta0, recherche de lim r(theta)*sin(theta-theta0) si existe asymptote oblique Y=l dans le repère tourné.
Exemple: r=1/(1+2*cos(theta)), asymptote en theta=2*pi/3.
Etude locale: vitesse=(r',r) dans le repère (e_r,e_theta). Conséquence: si r<>0 point régulier (si r'=0 tangente perpendiculaire au rayon vecteur), tanV=r/r' ou V=angle entre OM et la tangente.
Si r=0, la tangente est toujours portée par la droite d'angle theta_0, même si r'=0. Si r=0 et r'=0 point singulier, si r change de signe, allure normale, si r de signe constant, rebroussement de première espèce.
Convexite: calcul du determinant de vitesse, acceleration dans le repere (e_r,e_theta)
=> Pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0,


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Sep 22, 2016 3:37 pm 
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Cours du 22/9:
Coniques: intersection d'un plan avec un cone, 3 types.
a/ Ellipse MF+MF'=2a, FF'=2c, e=c/a<1
- équation cartésienne réduite
- grand cercle, ellipse obtenue par ecrasement selon Oy de sqrt(1-y^2)
- équation paramétrique trigonométrique de l'ellipse a*cos(t),b*sin(t)
- équation en polaire a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))
- propriété distance(M,foyer)=e*distance(M,directrice)
- application en mécanique céleste: lois de Kepler
b/ Parabole définie par distance(M,foyer)=distance(M,directrice), e=1
- équation cartésienne réduite (avec directrice verticale x=0, et foyer d'abscisse c) x=(y^2+c^2)/2/c
- équation en polaire réduite
- illustration des rayons réfléchis qui passent par le foyer
c/ Hyperbole définie par |FM-F'M|=2a<2c=FF'
- équation cartésienne
- paramétrisation trigo hyperbolique
- équation polaire

Calculatrices: trace de courbe parametrique, et prise en main calcul formel pour l'etude analytique (HP Prime et TI 89/92, fonctions derivation, solve, limit).


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Sep 29, 2016 4:14 pm 
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Cours du 29/9:
Coniques fin:
Les equations reduites se ramenent a une equation du 2nd degre dans un repere orthonorme quelconque (translation+rotation). Rotation d'angle alpha: x+i*y=exp(i*alpha)*(X+i*Y).
Reciproquement, pour recherche du repere reduit, on cherche une rotation d'angle alpha qui annule le terme en x*y de a*x^2+b*x*y+c*y^2, on trouve tan(2*alpha)=b/(a-c)
Paramétrisation rationnelle d'une conique définie par une équation du second degré passant par (0,0). Discussion selon le discriminant (en supposant que la fraction donnant x en fonction de t ne se simplifie pas).
Exemple traité a la machine 2x^2+x*y+y^2=4, angle pi/8 et discriminant -7 ellipse
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/m2377.xws

Propriétés métriques des courbes:
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantannée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt
Exemple: arc de cercle, arc d'ellipse: il n'y a pas de formule explicite en general. Parmi les exceptions: la parabole et la cycloide.
Expression en polaires.
Longueur d'arc paramétrique: propriété intrinsèque (géométrique), la valeur est indépendante du paramétrage, de même que la tangente à une courbe par rapport à la vitesse qui est une grandeur cinématique.
Le paramétrage par s, la longueur d'arc est intrinsèque, il est naturel de calculer la vitesse et l'accélération par rapport à ce paramétrage. On trouve un vecteur normé T de direction la tangente, et sa dérivée par rapport à s est perpendiculaire à T, dT/ds=kappa*N, avec (M,T,N) repère orthonormé direct, c'est le repère de Frenet, kappa=courbure signée, R=|1/kappa| rayon de courbure.
Retour à un paramétrage quelconque, formule pour accélération tangentielle dv/dt et normale v^2/R et formule pour le rayon de courbure en fonction de x',y',x",y".
Cas d'un arc de cercle de rayon r, on a alors r=1/kappa, justifiation du nom rayon de courbure.
Cercle osculateur: centré en M+1/kappa*N passant par M de rayon R.
Illustration Xcas d'un cercle osculateur sur une parabole en un point qui n'est pas sommet, la courbe traverse le cercle.
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/mat249/m2378.xws


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Oct 06, 2016 4:40 pm 
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6/10: rappels repere de Frenet, courbure, cercle osculateur.
courbure=d/ds(angle fait par le vecteur tangeant avec l'axe Ox)
Exemple: calcul complet pour la parabole (t,t^2).
On remarque que les racines carrées disparaissent pour M+1/kappa*N (fait général).

Les centres des cercles décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
Definition du sommet d'une courbe: point ou la courbure est extremale. La developpee admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.

Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => spirale de Fresnel/clothoïde.

2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat304)
Dérivée directionnelle d'une fonction, dV(v)=derivee directionnelle de V selon v. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(v)=1ère [resp. dy(v)=2ème] composante de v.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V dy
Définition abstraite de forme différentielle: application linéaire de R^2 dans R en chaque point. En coordonnees: omega=M(x,y)dx+N(x,y)dy
Definition du gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Exemple: calcul de gradient distance(A,M), A point fixé, pour M différent de A
dV s'annule sur un vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).
Application: tangente/normale a l'ellipse=bissectrices des rayons issus des foyers. En consequence un rayon lumineux issu d'un foyer se reflechissant sur un miroir elliptique passe par l'autre foyer.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Oct 13, 2016 4:13 pm 
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Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = integrale de a à b de omega appliqué à la vitesse en gamma(t)* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.

calcul sur un arc donné géométriquement, en choisissant un paramétrage, par exemple graphe y=f(x), on prend (t,f(t)), ou en polaires r(theta), on prend (r(theta)*cos(theta),r(theta)*sin(theta))
Retour à la question: peut-on calculer l'intégrale par différence entre une fonction aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV, preuve en integrant sur le segment (x,y)->(x+h,y) on trouve M=derivee partielle de V selon x
Remarque: convention de signe opposee a la physique avec F=-grad(V) et travail de F=V(A)-V(B)
Condition nécessaire: partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega (idee de construction de V en anticipant sur Stokes)
Exemple 1: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; calcul du potentiel V
calcul de 2 manieres de l'integrale curviligne de omega sur l'arc de parabole reliant (0,0) a (1,1): par V(B)-V(A) ou en parametrant avec (t,t^2)
Exemple 2: y^2*dx+x*dy non fermee donc non exacte
Exemple 3: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0), calcul de l'intégrale sur le cercle unité.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Oct 20, 2016 3:12 pm 
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20/10:
Exemple de calcul de potentiel V pour
omega=cos(x)*cos(y)*dx+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*dy
Application: calcul d'integrale curviligne de omega sur un arc AB=V(B)-V(A)

Définition de courbe intégrale pour omega: omega(vecteur tangent)=0 le long de gamma
Intérêt: si gamma se paramètre comme graphe de fonction y(x), alors M+N*y'=0 on a un graphe de solution de l'équation différentielle.
Si omega est exacte, omega=dV, alors une courbe intégrale est courbe de niveau de V, ce qui permet de résoudre l'équation différentielle.
Exemple: cos(x)*cos(y)+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*y' les solutions sont courbes de niveau du potentiel calcule

Facteur intégrant: si oméga n'est pas fermée, on peut chercher une fonction f telle que (fM*dx+fN*dy) soit fermée, en général on cherche f dépendant de x ou de y seulement. Cela permet de résoudre plus d'équations différentielles de cette manière.

Remarque: en thermodynamique, la chaleur deltaQ est une forme différentielle non fermée (la chaleur échangée dépend du chemin choisi), mais (dans le cas réversible) 1/T est un facteur intégrant, 1/T*deltaQ=dS (S=l'entropie), dS est une forme exacte.

Théorème de Stokes/Green-Riemann. Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Applications: calcul d'intégrales doubles, exemple aire de l'ellipse, centre d'inertie d'un quart d'ellipse.

Utilisation des calculatrices: rappel trace de courbe parametrique, calcul de derivee/limite, courbe en polaire, exemple calcul de l'affixe du vecteur tangent du DM.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Nov 10, 2016 7:38 pm 
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Equations différentielles et systemes differentiels: generalites.

Présentation sous forme résolue y'=f(y,t), f:R^nxR->R^n, y dans R^n. Si f(y,t)=f(y) ne dépend pas du temps, équation autonome. Si f(y,t)=f(y)+g(t) autonome avec forçage extérieur (= second membre).
Equation plus generale: il faut commencer par calculer y', par exemple y'^2+y^2=1.
Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener a un systeme d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple l'équation fondementale de la dynamique y''=somme des forces(y,y',t)/m en posant Y=(y,y')

Problématique: résolution explicite? Certaines formes d'equations le sont, mais ce n'est pas generique. Les systemes de calcul formel implementent ces resolutions. On ne traitera qu'une partie des methodes de resolution, celles qui sont importantes car elles permettent aussi de comprendre l'allure dans des cas non résolubles.

Problématique: existence/unicité d'une solution passant par une condition initiale donnée. On verra que c'est le cas, ce résultat permettra par exemple de montrer que 2 courbes solutions ne se coupent pas, par ex. y'=y*(1-y) a 2 solutions évidentes y=0 et y=1, donc toute solution avec y(t=0) dans [0,1] y reste.

Problématique comportement asymptotique des solutions lorsque t->infini.
limite 0, infinie, solution periodique (par exemple y'+a*y=0 si a>0 y->0 si t->+infty)
regime permanent/regime transitoire par exemple y'+a*y=cos(alpha*t) (en admettant la solution calculee par un systeme de calcul formel),
resonance y''+w^2*y=cos(w*t)

Représentation graphique: si on connait une solution, la tangente a son graphe a pour pente f(y,t). On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des segments de pente f(y,t). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon : c'est la base de la resolution numerique des equations differentielles (noms des methodes d'Euler, de Runge-Kutta donnes pour culture generale).

Je n'ai pas pu videoprojeter (pb technique dans l'amphi de phitem), je montrerai la prochaine fois un champ de tangentes a l'ordi et sur les calculatrices.

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur R^nxR il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par toute condition initiale.
Fonctionne aussi sur un ouvert D de R^nxR.
Idée: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.

Conséquence: controle d'une solution par des solutions connues (pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante et majoree -> y converge en +infini, y'->0 donc y tend vers 1. allure du graphe d'une solution
Exercice: meme type d'etude si y(t0)>1

Si des solutions se croisent cela ne peut etre qu'en un point ou f(y,t) n'est pas reguliere, par exemple y'=y/t toutes les solutions se croisent en t=0 ou f(y,t) n'est pas definie.

2/ Methodes de resolution explicite
-> Variables separables y'=g(y)*h(t),
solutions particulieres y=racine de g,
sinon
G(y)=H(t)+Cte, G primitive de 1/g et H de h
Cas favorable: on peut calculer y en fonction de t
cas general: equation implicite entre t et y, on peut parfois parametrer les courbes integrales y(u),t(u)
Exemple y'=t*y
-> Equations homogenes lineaires y=K*exp(H(t)), K reel.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Nov 17, 2016 6:24 pm 
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Illustration a la machine de Cauchy-Lipschitz avec y'=-y+cos(t) (visualisation du regime permanent) et y'=y/t, champ des tangentes a la calculatrice.

Méthodes explicites de résolution d'équations différentielles, suite
2/ Equation linéaire ordre 1, solution générale homogene et variation de la constante pour solution particuliere, exemple y'=t*y-t
3/ Equation linéaire ordre n -> espace vectoriel de solutions,de dimension n en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution. On peut reduire de 1 l'ordre si on connait une solution, exemple y''=2y/t^2 avec 1/t solution, on pose y=z/t
4/ Linéaire à coefficient constant, équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a h racines simples r_1, .., r_j, ..., l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Démonstration
Prop: Si r racine multiple, remplacer e^{r*t} m fois par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Je donnerai une idee de la preuve la prochaine fois, j'ai prefere donner 3 exemples pour finir
y''+3y'-4y=0, y''+2y'+y=0, y''+2y'+2y=0


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Nov 24, 2016 5:20 pm 
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24/11:
Equation diff lineaire a coeff constants:
Cas des couples de racines complexes conjuguées si l'equation est a coefficients reels, retour au réel.
Exemple y''+2y'+2y=0
Multiplicite: rappel de la definition P(x)=(x-r)^m*Q(x), si M>1 alors P'(r)=0 et preuve que t*exp(r*t) est alors solution de l'equation differentielle

Résolution avec second membre: solution particulière+solution générale.
Méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière.
Cas ou n=2, y(t)=C_1(t)*y_1(t)+C_2(t)*y2(t), alors C1'*y1+C2'*y2=0 et C1'*y1'+C2'*y2'=second membre/a2. Exemple y''+3y'-4y=exp(t).
J'ai esquisse la generalisation a l'ordre n
y=sum_j lambda_j*y_j où les y_j forment une base de solutions de l'équation homogène.
résolution de système linéaire en les lambda_j' en imposant sum_j lambda_j'*y_j=0 (ordre 2), sum_j lambda_j'*y_j^[k dérivée]=0 pour k<n-1, et l'équation différentielle sum_j lambda_j'*y_j^[ordre-1 dérivées]=second membre/a_n.
J'ai dit que cette methode necessitait beaucoup trop de calculs pour les seconds membres qu'on rencontre typiquement.
Cas particulier: si second membre B(t)*exp(r*t), solution particulière de la même forme Q(t)*exp(r*t) avec Q de même degré que B + multiplicité de r dans le polynôme caractéristique.
Exemples y''+3y'-4y=exp(2t) puis =t puis =exp(t)
y'+a*y=cos(omega*t) pour a>0, en posant cos(omega*t)=Re(exp(i*omega*t)). Toutes les solutions tendent vers le meme regime permanent lorsque t->+infini.
Amplitude et dephasage du regime permanent par rapport au second membre. J'ai dit oralement que ca permettait d'expliquer que le dephasage du rechauffement des terres, de l'ocean ou de la banquise augmentait entre un peu au-dessus de 0, environ pi/4 et presque pi/2 en fonction de l'inertie thermique (modelisee par a, plus precisement plus a est petit plus l'inertie est grande et tan(dephasage)=omega/a).

Systemes differentiels lineaires d'ordre 1 a coefficients constants en dimension 1.
Ecriture matricielle Y'=A*Y ou Y'=A*Y+b
Exemple si n=2
Resolution si n=2 en se ramenant a une equation d'ordre 2.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Déc 01, 2016 6:48 pm 
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1/12:
Systemes differentiels lineaires d'ordre 1 dans le cas diagonalisable
A=P*D*P^(-1), D diagonale, Y'=A*Y+b, Y=P*Z, Z vérifie un système diagonal Z'=D*Z+P^-1*b, résolution, puis Y=P*Z.
Exemple: A:=[[-1,1],[2,4]] resolution homogene, puis avec second membre b=[exp(t),0]

Ordre >1: on se ramene a l'ordre 1 en augmentant la dimension.
Exemple ordre 2 pour un systeme en dimension 2 modelisant 3 ressorts couples, se ramenant a l'ordre 1 en dimension 4 (x1, x2, dx1/dt,dx2/dt) avec matrice [[0,0,1,0],[0,0,0,1],[-2w^2,w^2,0,0],[w^2,-2w^2,0,0]]
Calcul avec Xcas des valeurs propres, +/-i*w, +/-i*sqrt(3)*w, donc 2 frequences intrinseques w et sqrt(3)*w. Si on excite le systeme de ressorts par une oscillation periodique, la solution aura 3 periodes caracteristiques sauf si l'excitation est w ou sqrt(3)*w (resonance).
Calculatrices
Entree de la matrice et calcul du polynome caracteristique a la calculatrice (je l'ai donne en dimension 4,
ti: [[-1,1][2,4]] sto> a
hp,Xcas: [[-1,1],[2,4]] sto> a
puis zeros(det(a-x*identity(2)) ou czeros() dans C, rref(a-x*identity(42)) pour x valeur propre permet de determiner les espaces propres, eigenvals/eigenvects sur HP et eigVl/eigVc sur TI donne directement les valeurs et espaces propres mais sur TI le calcul est uniquement approche numerique.

Systemes d'ordre >1 se ramenant a une equation: exemple particule chargee dans un champ magnetique constant orthogonal au champ electrique avec vitesse initiale nulle si champ electrique, se ramene a une equation d'ordre 2 a inconnue dans C
z''=-qB/m*i*z'+q/m*(Ex+i*Ey)
Equation caracteristique de racines 0 et -i*q*B/m-> solution homogene z=alpha+beta*exp(-i*q*B/m*t)
x=Re(c) et y=Im(c), cercle
Remarque: equation a coefficients complexes donc pas de couples de racines conjuguees
Si E non nul, recherche d'une solution particuliere. Forme de la trajectoire, il y a une valeur particuliere de E pour laquelle on a une cycloide.

Autres methodes de calcul explicite: integrales premieres:
* systeme conservatif en dimension 1 permet de remplacer m*x''=somme des forces en
1/2*m*x'^2+V=E, si V ne depend pas du temps, equation a variables separables


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Déc 08, 2016 5:06 pm 
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Integrales premieres:
* systeme conservatif en dimension 1 exemple calcul de la periode du pendule, calcul approche de l'integrale (commande sur calculatrices)
* en dimension1 ordre 1, forme fermée/exacte ? si oui, les courbes de niveau du potentiel V sont les courbes intégrales. Si non, on peut chercher un facteur pour rendre la forme fermée. Exemple: y'=-(3x^2+y^2)/(2*(x-1)*y)
* force centrale: conservation du moment cinetique -> mouvement plan
Si de plus d^2r/dt^2=-mu/r^2*e_r, 1ère constante L=r vectoriel dr/dt => mouvement plan et loi des aires r^2*d(theta)/dt=L, 2ème constante E=1/mu*dr/dt vectoriel L - e_r => mouvement sur une conique. Lois de Kepler.

Comportement asymptotique des solutions d'equations lineaires a coeff constants en dimension 1
Cas homogene
Si toutes les racines de l'equation caracteristique sont de partie reelle < 0 alors convergence vers 0

Exemple: ordre 1 y'+a*y=0 a>0, a=0 et a<0
ordre 2 a*y''+b*y'+c*y, discussion selon le signe du discriminant, puis selon le signe des racines pour delta>=0 (pour avoir 2 racines strictement negatives il faut que b/a>0 et c/a>0) ou selon le signe de b/a (paire de racines conjuguées). Allure du graphe: amortissement exponentiel ou exponentiel avec oscillation.
Comportement solution particuliere + comportement solution generale.
Pas de resonance possible a l'ordre 1 avec 2nd membre en cos(omega*t), mais possible en dimension 2 si b=0 (pas de frottements)
Je n'ai pas donne d'exemples pour avoir un peu de temps pour commencer le calcul variationnel.

Introduction au calcul variationnel:
Lagrangien L(x,x',t) (attention j'ai noté x point en cours, pas x' mais sur ce forum je ne sais pas faire un x point...), action S, exemples: longueur d'arc, lagrangien 1/2*m*x'^2-V(x) de la mécanique classique (force conservatrice).
Equations d'Euler-Lagrange (théorème énoncé, je ferais une preuve heuristique la prochaine fois) pour minimiser S sur les chemins d'extrémités fixés vus comme courbes paramétrées par le temps avec paramètres fixé aux extrémités.
Exemple:
lagrangien de la mécanique classique=energie cinetique-potentiel, les equations d'Euler-Lagrange redonnent m*accélération=forces
longueur d'arc parametree -> lagrangien=norme de la vitesse, equations d'Euler-Lagrange donnent vecteur tangent constant.


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 Sujet du message: Re: mat307 2016/17 - ex mat237
MessagePublié: Jeu Déc 15, 2016 7:10 pm 
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Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
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15/12: Calcul variationnel: exemple pendule, ecriture en coordonnees polaires, si V ne depend que de r, alors conservation du moment cinetique.
Recherche d'intégrales premières:
En mecanique classique, si L ne dépend pas de x, conservation de la quantité de mouvement m*dx/dt.
Définition du hamiltonien H=sum_i x_i_point*drond L/drond x_i_point -L
Prop: si L ne dépend pas explicitement du temps, alors H est conservé.
Exemple: en mécanique classique, H=énergie totale. Calcul de H en relativite restreinte, dvpt de Taylor mc^2+energie classique.
==================
Comportement asymptotique des systèmes différentiels d'ordre 1:
1/ Cas linéaires à coefficients constants diagonalisable: solution homogene Y=P*(alpha_j exp(lambda_j t)),
Si toutes les valeurs propres ont une partie réelle < 0 alors on tend vers 0.
Si <=0 alors periodique (frequence intrinseque du systeme).
Avec second membre periodique, dans le 1er cas, solution particuliere de meme frequence (regime permanent), dans le 2eme cas aussi sauf si la frequence d'excitation est la meme que la frequence intrinseque du systeme.

2/ cas autonome: Y'=f(Y), on recherche des solutions stationnaires, on parle d'équilibre stable si pour toute condition initiale proche d'une solution stationnaire, on retourne à l'équilibre si t->+infini. On admet que c'est le cas si la matrice f'(Ye) du système linéarisé Y'=f'(Ye)*(Y-Ye) a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative. En dimension 1, on etudie le signe de f(y) pour voir la convergence ou non des points d'equilibre (exemple y'=y*(1-y)). En dimension plus grande, la preuve est beaucoup plus difficile! Si partie reelle <=0 on ne peut rien dire, on s'attend a etre presque periodique pendant un certain temps.

3/ autonome + petit forcage.
Si forcage constant et petit, deplacement de l'equilibre.
Si les valeurs propres ont une partie reelle <=0 on s'attend a ce que le comportement soit le meme que celui du linearise avec forcage pendant un certain temps.


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